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Dic 27 2016

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Probabilidad: del azar a la medición

La palabra “probabilidad” es usada continuamente en nuestra vida cotidiana. Continuamente la nombramos para hablar de todo tipo de cosas: el tiempo, la lotería, aprobar una oposición, etc., de forma que no es de extrañar que este concepto se haya utilizado desde siempre. Desde la antigua civilización egipcia, pasando por la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat, las conjeturas de James Bernouilli, el trabajo de Laplace y finalmente la obra de Kolmogorov en los años 30 del pasado siglo, el azar y su medición ha sido un tema muy presente en el avance de las ciencias matemáticas.

 

Podemos distinguir lo que sucede en el mundo real en dos categorías de fenómenos: determinísticos, que son aquellos cuyas condiciones de partida definen su resultado final (p. ej. Leyes de la Física), y no determinísticos o aleatorios, cuyo resultado final, aunque se hayan realizado bajo las mismas condiciones, es imposible de conocer con seguridad previamente a su realización. Es en estos fenómenos donde toma sentido el concepto de probabilidad.

azar

La probabilidad puede definirse como la medida o el grado en el que puede ocurrir un suceso asociado a un fenómeno o experimento aleatorio. Estos sucesos están asociados al espacio muestral del experimento, que se define como el conjunto de posibles resultados del mismo, denominados sucesos elementales o puntos muestrales. Al ser los sucesos un subconjunto del espacio muestral, la Teoría de Conjuntos es aplicable también a ellos, así como todas sus propiedades y definiciones (intersección, unión, complementariedad, etc.).

 

Cabe destacar que este espacio muestral debe tener una estructura de sigma-álgebra (σ-álgebra) de Boole para poder posteriormente definir una función que mida la probabilidad sobre el conjunto de sucesos (es decir, para que el azar pueda ser medido correctamente). Para ello se tienen que verificar las siguientes propiedades:

 

  • Todo el espacio muestral debe quedar recogido en el conjunto de sucesos
  • Si un suceso A está recogido en el conjunto, su suceso complementario (lo contrario de A) debe estar también en el conjunto.
  • Si una sucesión de sucesos Ai (donde i=1,…,∞) está en el conjunto, entonces la unión de todos ellos también debe estar en el conjunto.

 

Con estos elementos (un experimento aleatorio con un espacio muestral asociado y una sigma-álgebra de sucesos), se define la probabilidad de acuerdo a los axiomas de Kolmogorov como una aplicación de la sigma-álgebra de sucesos en el conjunto de los números reales, verificando:

 

  • La aplicación (probabilidad) de un suceso contenido en la sigma-álgebra es siempre mayor o igual que 0.
  • La probabilidad del espacio muestral asociado equivale a 1.
  • Dada una sucesión infinita de sucesos incompatibles entre sí (dos a dos), se verifica que la probabilidad de su unión ( g. probabilidad de que se dé al menos uno de ellos) es igual a la suma de sus probabilidades.

 

A partir de aquí, ya podemos estudiar el comportamiento de las variables aleatorias. La forma en la que se dan las probabilidades de los sucesos conforman la distribución de probabilidad, pudiendo calcular éstas a través de su correspondiente función de densidad (función masa probabilidad en variables discretas).

 

En el mundo real, hay una serie de distribuciones que se dan con mayor frecuencia, como la Normal o Gaussiana, la Binomial, la Exponencial, la Poisson, etc., siendo la más relevante de ellas la Normal. Como su propio nombre indica, es relativamente común encontrarla en fenómenos naturales, pero sobretodo toma importancia gracias a un teorema denominado Teorema Central del Límite (TCL), el cual dictamina que “la variable suma de n variables independientes con varianza no nula se distribuye de forma aproximadamente Normal cuando n tiende a infinito”. En la práctica, que n tienda a infinito no es otra cosa que tener un n lo suficientemente grande (tomándose generalmente la regla de n > 30, aunque 30 sea un número que dista mucho de ser el infinito).

 

Esto permite, entre otras cosas, poder asociar una distribución de probabilidad a la media muestral de un evento cualquiera, y de esta forma poder calcular la probabilidad de que ésta tome unos valores u otros. Es sobre esta base sobre la que se sustentan algunos de los contrastes de hipótesis más relevantes usados en investigación científica, de ahí el amplio interés que suscita el TCL.

 

En próximas entradas del Rincón de Picanúmeros, se profundizará en los conceptos probabilísticos aquí descritos, principalmente en el marco de las principales distribuciones de probabilidad y sus propiedades, así como su uso en los contrastes de hipótesis.

 

Referencias:

  • Aguilera, A. M. (2000) Curso y Ejercicios de Cálculo de Probabilidades. Ed. La autora.
  • Billingsley, P. (1995) Probability and Measure (3rd Edition). Ed. John Wiley & Sons, New York.

 

Entrada escrita por PICANUMEROS

Acerca del autor

Azucena Santillán

Enfermera. "Máster en Gestión y Administración de Enfermería" , "MBA en Dirección y Gestión Integrada de Clínicas, Centros Médicos y Hospitales" y "Máster TIC en Enfermería". Doctoranda.

Enlace permanente a este artículo: http://ebevidencia.com/archivos/3702

2 comentarios

  1. Teresa Barrón gómez

    Gracias, Azucena por participarnos de estas novedades que constituyen más herramientas para facilitar nuestro trabajo como docentes en enfermería o como investigadores. saludos.

  2. Jordi

    Muy interesante los recursos de divulgación del Rincón de Pica Números.
    La divulgación estadística es muy importante!
    Gracias

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